数一（A）
一、集合与常用逻辑用语
集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成地总体叫做集合（set）简称为集。
元素与集合的关系有属于$(\in)$和不属于$(\notin)$。
表示集合的方法有列举法和描述法。
集合性质
- 确定性
- 互异性
- 无序性
常见数集及记法
| 数集 | 记法 |
|---|---|
| 全体非负整数组成的集合称为非负整数集 （或自然数集） | $N$ |
| 全体正整数组成的集合称为正整数集 | $N^*$或$N_+$ |
| 全体整数组成的集合称为整数集 | $Z$ |
| 全体有理数组成的集合称为有理数集 | $Q$ |
| 全体实数组成的集合称为实数集 | $R$ |
集合间的基本关系
$A=B$, 特殊性质：$\emptyset$ 空集，$\emptyset \subsetneqq A$,$A\subseteq A$
$A\subseteq B$, A包含于B，A是B的子集
$A\subsetneqq B$, A真包含于B，A是B的真子集
集合的基本运算
$A\cap B$
$A\cup B$
全集 $U$, Universal set
补集 $\complement_UA$
充分条件和必要条件
命题：可判断真假的陈述句。
代数表述:
$\frac{a>2}{p} \Rightarrow \frac{a>1}{q}$
集合概念：
$p=\lbrace a|a>2 \rbrace$
$q=\lbrace a|a>1\rbrace$
“若$p$则$q$” 为真命题时记作：$p \Rightarrow q$
此时，$p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件
充要条件：
若 $p\Rightarrow q$ 为真， $q \Rightarrow p$ 为真
则 $p \Leftrightarrow q$ ，$p$ 是 $q$ 的充要条件
$p \Leftrightarrow q =数学定义\rightarrow 数学性质$
全称量词与存在量词
全称量词：
$\forall x\in M,p(x)$
存在量词：
$\exists x\in M,p(x)$
命题否定：
$\forall x\in M ,p(x) \rightarrow \exists x\in M,\neg p(x)$
二、一元二次函数、方程和不等式
1. 等式性质和不等式性质
等式性质
- $a=b\Rightarrow b=a$
- $a=b,b=c \Rightarrow a=c$
- $a=b \Rightarrow a\pm c=b\pm c$
- $a=b \Rightarrow ac=bc$
- $a=b,c\ne0 \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
不等式性质
不等式实质：作差
例：$a-b>0$推出$a>b$,两个数的不等关系由作差后的结果决定
- $a>b \Rightarrow b<a$
- $a>b,b>c \Rightarrow a>c$
- $a>b \Rightarrow a+c>b+c$ 不等式两边的数左右移动不会改变不等式符号
- $a>b,c>0 \Rightarrow ac>bc$
- $a>b,c<0 \Rightarrow ac<bc$ 不等式两边同乘/除一个负数，不等式符号改变方向
- $a>b,c>d \Rightarrow a+c>b+d$
- $a>b,c>d \Rightarrow ac>bd$
- $a>b \Rightarrow a^n>b^n(n\in N,n\ge 2)$
2. 基本不等式
当$a>0,b>0$时，总有$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
推导过程
代数方法
由完全平方公式$(a-b)^2\ge 0$推导：
$\Downarrow a^2+b^2+2ab \ge 0$
$\Downarrow a^2+b^2 \ge 2ab$
换元：令$a^2=a,b^2=b$,不改变符号方向
$\Downarrow a+b\ge 2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow \frac{a+b}{2}>2\sqrt{ab}$
含义：两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
几何方法
$AB$是圆的直径，点 $C$ 是$AB$上一点，$AC=a,BC=b,$过点 $C$ 作垂直于$AB$的弦$DE$,连接$AD$,$BD$,证基本不等式。
$\Downarrow 证\triangle ACD \sim \triangle DCB$
$\Downarrow ab=AD^2 \Rightarrow \sqrt{ab}=CD$
$\Downarrow \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$
含义：$CD$总小于或等于圆的半径
3. 方程-函数-不等式
- 函数：$y=ax \Rightarrow$ 函数图像
- 方程：$ax+b=0 \Rightarrow$ 函数图像与X轴的交点/求代数解
- 不等式：$ax^2+b>0 \Rightarrow$ 函数指定范围的图像
三、函数的概念与性质
1. 概念
一般地，设$A$，$B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f:A\rightarrow B$为从 集合$A$到集合$B$的一个函数（function），记作：$y=f(x)，x\in A$。
$x$：自变量
$y$：函数值
$A$：定义域
$B$：值域${f(x)|x\in A}$
$f$：对应关系
两个函数同时满足定义域和对应关系相同的时候，这两个函数为同一个函数。
2. 性质
不变性
- 定义域范围内对应关系$f()$不变。
- 函数图像的形状、开口方向等几何特征不变。
规律性
单调性（局部性质）
$\forall x_1,x_2\in D,x_1<x_2$
如果：$f(x_1)>f(x_2)\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)>0$，
则称：函数$f(x)$在区间$D$上单调递减，反之递增。
极值
设函数$f(x)$的定义域为$A$,如果存在实数$M$满足：
$\forall x\in A$，都有$f(x)\le M$
$\exists x,f(x)=M$
则称$M$是函数$y=f(x)$的最大值，反之为最小值。
奇偶性
讨论奇偶性的前提为函数的定义域关于原点对称。
零函数$f(x)=0$为既奇且偶函数，非零函数不可能同时满足两者。
$f(-x)=f(x)\Rightarrow$函数为偶函数，图像关于Y轴对称。
$f(-x)=-f(x)\Rightarrow$函数为奇函数，图像关于原点对称。
幂函数
四、指数函数与对数函数
1. 指数函数
函数表达式：
$y=a^x,(a>0,且a\ne1),x\in R$
图像与性质
性质：底数$a$互为倒数的两个指数函数的图像关于Y轴对称。
运算规则
幂
幂：形如$n^m$，其中$n$为底数，$m$为指数，二者共同构成幂的表达式。
幂的运算
整数/分数指数幂——>有理数/无理数指数幂——>实数指数幂
无理数指数幂利用自然数的不足近似值和过剩近似值会得到一个趋近于稳定值的数。
$a^p\cdot a^q=a^{(p+q)}$
$a^p\div a^q=a^{(p-q)}$
$(a^p)^q=a^{p\cdot q}$
$(ab)^p=a^p \cdot b^p$
$a^0=1$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
2. 对数函数
函数表达式
$y=\log_a{x},(a>0,a\ne 1),x\in R$
图像与性质
性质：
底数$a$互为倒数的两个对数函数关于X轴对称。
$x$一定时，底数越大，$y$越小
底数相同的对数函数和指数函数互为反函数，关于$y=x$对称，定义域、值域互换。
运算规则
$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$
$\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}$
$\log_a{M^n}=n\log_a{M}$
换底公式（常用）：
$\log_a{b}=\frac{log_c{b}}{\log_c{a}}=\frac{\lg{b}}{\lg{a}}$
$\log_a{b}\cdot \log_b{a}=1$ 互为倒数
$\log_\frac{1}{a}{x}=-\log_a{x}$
3. 函数应用
零点存在定理
零点存在定理：如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图像是一条连续不断的曲线，且有$f(a)\cdot f(b)<0$,则$f(x)$在$[a,b]$至少有一个零点。
二分法
零点存在的具体应用。二分法不止在数学领域应用，生活中的线路排查等问题同样可以使用。
4. 解题思路
- 比大小问题可以结合图像解题，也可以利用不等式原理和换底公式结合判断。
- 出现开偶次方时会出现正负两个底数。
- 指数函数和对数函数在选用函数模型时应考虑①变化趋势②定义域。
- 零点存在定理只能判断过X轴的零点，在X轴的零点不能判断，需另外讨论。
五、三角函数
1. 角度制$\Leftrightarrow$弧度制
转换公式：
$1rad=\frac{180^\circ}{\pi}$
$1^\circ=\frac{\pi}{180^\circ}$
弧度制扇形公式：
$L=\alpha R$
$S=\frac{1}{2} \alpha R^2$
$S=\frac{1}{2} L R$
2.三角函数
概念：
将单位圆置于直角坐标系，OP与圆的交点坐标随着OP角度变化而唯一确定；OP延长后结论不变。
注意:$\sin{x}$,$\cos{x}$,$\tan{x}$的值需确定$x$所处的象限，不确定时分别讨论
图像与性质
正弦函数
余弦函数
正切函数
性质
看图：周期性、奇偶性、单调性
三角恒等式–>化简
同角三角函数
$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$
$\tan{x}=\frac{\sin{x}}{cos{x}}$
诱导公式
公式一~公式六为诱导公式
其中公式一~公式四化简用，公式五、六做化简过程中的sin和cos的互换。
公式一：
$\sin{(\alpha+2k\pi)}=\sin{\alpha}$
$\cos{(\alpha+2k\pi)}=\cos{\alpha}$
$\tan{(\alpha+2k\pi)}=\tan{\alpha}$
公式二：
$\sin{(\alpha+\pi)}=-\sin{\alpha}$
$\cos{(\alpha+\pi)}=-\cos{\alpha}$
$\tan{(\alpha+\pi)}=\tan{\alpha}$
公式三：
$\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}$
$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$
$\tan{(-\alpha)}=-\tan{\alpha}$
公式四：
$\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$
$\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}$
$\tan{(\pi-\alpha)}=-\tan{\alpha}$
公式五：
$\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{\alpha}$
$\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{\alpha}$
公式六：
$\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\cos{\alpha}$
$\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha}$
任意角公式
和角/差角公式：
$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$ [用图（2）推导]
$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$ [用1推导]
$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$ [用1和公式五/六推导]
$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$ [用3推导]
$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$ [用同角三角函数推导]
$\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1=\tan{\alpha}\tan{\beta}}$ [用5推导]
二倍角公式：
$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ [用3推导]
$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$ [用2推导]
$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$ [用5推导]
半角公式：
$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}$ [用倍角公式推导，下同]
$\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}$
$\tan{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}$
特殊公式：
$\frac{1}{2}(\sin{\alpha}+\sin{\beta})=\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$ [用图（3）推导,或先推第三个]
$\frac{1}{2}(\cos{\alpha}+\cos{\beta})=\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$
$\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$
3.函数应用
$y=A\sin{(\omega x+\varphi)}$ [简谐运动]
简谐运动：物理学中，把物 体受到的力 （总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为 “简谐运动”。
A：振幅
T：周期，$T=\frac{2\pi}{\omega}$,$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$
$\omega x+\varphi$：相位，ω为0时为初相
变化过程
一般地，函数$y=A\sin{(\omega x+\varphi)}$（A＞０，ω＞０）的图象，可以用下面的方法得到：
先画出函数$y=\sin{x}$的图象；
再把正弦曲线向左 （或右）平移｜φ｜个单位长度，得到函数$y=\sin{(x+\varphi)}$的图象；
然后把曲线上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}$倍（纵坐标不变），得到 函数$y=\sin{(\omega x+\varphi)}$的图象；
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），
这时的曲线就是函数$y=A\sin{(\omega x+\varphi)}$的图象．
不等式求解
利用函数性质周期性、单调性、奇偶性求解
求$y=\sin{(\omega x+\varphi)}$的单调递增区间过程：
$\sin{x}$的单增区间为$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$
$\sin{\omega x}$的单增区间为$[-\frac{\omega\pi}{2}+2k\omega\pi,\frac{\omega\pi}{2}+2k\omega\pi]$
$\sin{(\omega x+\varphi)}$的单增区间为$[-\frac{\omega\pi}{2}+2k\omega\pi+\varphi,\frac{\omega\pi}{2}+2k\omega\pi+\varphi]$
4.解题思路
化简
化简目的：降次，减项，分母和根号不含三角函数式等。
总之：化简后要能直观地看到结果。
技巧：拆解后组装容易，无中生有（配方法，换元法）难
$1=\sin^2{x}+\cos^2{x}$ $\frac{x}{1}=\frac{x}{\sin^2{x}+cos^2{x}}$ [同角三角函数基本关系]
化简：$\tan{20^\circ}+\tan{40^\circ}+\sqrt{3}\tan{20^\circ}\tan{40^\circ}$
换元：
$\tan{60^\circ}=\frac{\tan{20^\circ}+\tan{40^\circ}}{1-\tan{20^\circ}\tan{40^\circ}}=\sqrt3$
$\tan{20^\circ}+\tan{40^\circ}=\sqrt3(1-\tan{20^\circ}\tan{40^\circ})$
化简：$\sqrt3\sin{2x}+2\cos^2{x}$
配方法：
原式=$\sqrt3\sin{2x}+2\cos^2{x}-1+1$
出现$\sin^4{x}$,$\cos^4{x}$时，用$(\sin^2{x}+\cos^2{x})^2=1$
出现$(\sqrt3\sin{x}+1)$或$(\sin{x}+\cos{x})$时，用特殊角$60^\circ$，$45^\circ$，$30^\circ$
求值
- 给出$\sin{x}+\cos{x}=k$,k为常数，结合$\sin^2x+\cos^2x=1$可以求出两组解，再根据题目信息确定取值范围。
- 如题目要求为求表达式地情况需给出表达式和定义域，R可省。
- 如题目给出角α的范围，则必须（或必有）确定象限，不给则可直接化简，数学本身就在化繁为简，所以数学题目信息不会白给。
